证明是数学的核心，也是它区别于别的科学之处。
证明是数学的核心，也是它区别于别的科学之处。
“不朽”可能是个缺乏理智的用词，但是或许数学家最有机会享用它，无论它意味着什么。
有些人因爱好财富而被左右，另一些人因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。
毕达哥拉斯意识到从音乐的和声到行星的轨道，一切事物中皆藏有数。这导致他宣布“凡物皆数”（Everything is number）。
数学的进展会唤起科学的革命。
牛顿的经典引力论幸存了几个世纪未受触动，直到它被阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论所替代；广义相对论对引力作出了更详细的、新的解释。只是由于新的数学概念为他提供了更精妙的语言来表达他的极复杂的科学思想，爱因斯坦本人的思想才可能形成。今天，对引力的解释再一次被数学的突破所影响。最新的量子引力理论和数学中的“弦”的发展密不可分，在弦这种理论中“管”的几何和拓扑性质似乎最好地解释了各种自然力。
科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明所具有的绝对程度：它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的。
数学不依赖于来自容易出错的实验的证据，它立足于不会出错的逻辑。
概率问题有时是会引起争议的，因为对这种问题数学的答案（也即正确的答案）常常会与直觉所暗示的相反。直觉的这种失败很可能会使人感到惊奇，因为“适者生存”的法则应该提供强烈的进化压力，使人脑自然而然地有能力分析概率问题。
分析概率的才智应该是我们的遗传构成之一，不过我们的直觉常常误导我们。
在23人的人群中出现一个共有的生日的概率大于50%这个事实，凭直觉似乎是不正确的，但它在数学上则是无可否认的。诸如此类的奇怪的概率恰恰是赌注登记经纪人和赌棍们赖以掠取粗心上当者钱财的依据。
帕斯卡甚至相信他能用他的理论证明信仰上帝是有理由的。他说：“赌徒在押赌时感受到的刺激等于他可能赢得的钱数乘以他获胜的概率。”然后他论证道：永恒的幸福具有无限的价值，由于生活道德高尚而进入天堂的概率不管怎么小肯定是有限的。于是，按照帕斯卡的定义，宗教是一种有无穷刺激的游戏，一个值得参与的游戏，因为无限的奖励乘以一个有限的概率其结果是无穷大。
欧几里得如此深爱的反证法是数学家最精妙的武器之一。它是比任何弈法更为精妙的弃子取胜法：棋手可能牺牲一只卒子甚至更大的棋子以取胜，而数学家则牺牲整个棋局。”
英国数学家G.H.哈代在他的《一个数学家的自白》这本书中概括了反证法的精髓：“欧几里得如此深爱的反证法是数学家最精妙的武器之一。它是比任何弈法更为精妙的弃子取胜法：棋手可能牺牲一只卒子甚至更大的棋子以取胜，而数学家则牺牲整个棋局。”
定理是数学的基础，因为一旦它们的正确性被证明，就可以放心地在它们上面建立别的定理。未经证实的想法是很难评价的，因此被称之为猜想。任何依靠猜想而进行的逻辑推理，其本身也是一个猜想。
某些思想已经成了约定俗成的东西，即使它们确实曾经被证明过，也没有人确切地知道它们最初是怎样被证明的。所以逻辑学家决定从基本原理出发将每一个定理证明一遍。然而，每个真理必须是根据别的真理推断出来的，而那些真理仍然必须根据更为基本的真理来证明。依次类推下去，最终逻辑学家发现自己正在处理几个最本质的命题，这些命题是如此的基本以致它们本身不再可能被证明。这些基本的假定就是数学中的公理。
茶匙的类不是另一把茶匙，但是，不是茶匙的物组成的类是一种不是茶匙的物。
单靠计算机的蛮力嘎吱嘎吱地碾过一个一个的数是不可能到达无穷的。
在怀尔斯解决费马大定理的过程中，他仅有的武器是笔、纸和纯逻辑。虽然他的证明中使用了数论中最现代的技术，但整个证明仍然完全遵循着毕达哥拉斯和欧几里得的传统风范。然而，近来出现的种种迹象预示着怀尔斯的解答可能是这种传统式证明的最后一个范例，将来的成果可能依靠使用野蛮的力迫法而不是高雅的论证。
当借助于计算机证明一个定理时，无法向人们展示出符合传统检测要求的证明过程，即有充分耐心的读者应该能够根据这个证明进行核对并证实它是正确的。即使将所有的程序和所有的数据集打印出来，仍然不能保证数据盘没有被误读。此外，每台现代计算机在它的软件和硬件中都有隐匿的缺陷——它们很少引起失误，因而长时间没有被发现——每台计算机还有可能出现瞬间即逝的失误。
计算机证明总不如传统证明那样发人深省，相比之下它显得空虚。数学证明不仅回答了问题，它还使人们对为什么答案应该如此有所理解。把问题送进一个黑匣子然后从另一端收到一个答案，这增加了知识但没有增进理解力。